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一.概述

ARCH模型（Autoregressive conditional heteroskedasticity model）全称“自回归条件异方差模型”

在现代高频金融时间序列中，数据经常出现波动性聚集的特点，但从长期来看数据是平稳的，即长期方差（无条件方差）是定值，但从短期来看方差是不稳定的，我们称这种 异方差为条件异方差。传统的时间序列模型如ARMA模型识别不出来这一特征。

二.ARCH模型优化方向

数据呈现波动聚集性（volatility clustering）长期来看时间序列平稳，短期来看不平稳，存在异方差，这时会使用$ARCH/GARCH$模型

三.模型

1.总体模型

2.优化实质

因为加法条件异方差的性质不容易探究，因此我们所说的ARCH模型均是

下面的乘法条件异方差模型。 另外，大家可以看出 实际上ARCH模型是在ARMA模型的基础上提出来的，两者的区别在于扰动项的设置不同，在ARMA模型中扰动项是最简单的白噪声序列

3.ARCH(q)模型

其实就是改变了扰动项

4.GARCH(p,q)模型

5.检验GARCH效应

【1】概述

检验$ARMA$模型预测之后

1. 对干扰项检验，若为白噪声，则均值模型估计完全了，否则更$ARMA$重新估计
2. 检验干扰项的平方是否为白噪声，若是则无$GARCH$效应，否则存在$GARCH$效应

【2】算法：LM检验

// LM检验：是否存在ARCH误差reg ressq l.ressq l2.ressq l3.ressq l4.ressq l5.ressq // 将残差平方项对其滞后项回归gen LM_STAT=e(N)*e(r2) // 计算LM统计量display LM_STAT // 输出LM统计量display chiprob(e(df_m),LM_STAT) // 计算p值

6.何时使用$ARCH$或$GARCH$模型

四.一个实例

1.摘要

就是预测股票趋势

2.数据导入

clear  // 清空变量* (1) 导入数据并生成时间序列  (*和//都可以用来注释一行)insheet using "C:\Users\晨沉宸尘\Desktop\上课用的课件和代码(下载后记得解压，所有视频配套的都在里面)\清风数学建模课件和代码（全套下载后请解压)\更新视频的课件和代码\更新7 ARCH和GARCH模型\数据和代码\Bindex.csv"  //导入位于和代码同一文件夹下的csv数据文件gen datevar = date(date,"YMD")   // 将csv中的变量date转换为stata能识别的时间数据datevarformat datevar %td // 对datevar的展示格式进行转换，转换后以:日月年 显示label variable datevar "日期"  // 设置datevar的标签为日期，主要用于画图时的展示tsset datevar   // 定义datevar是一个时间序列数据gen time=_n  // 定义一个从1到n的time序列，n是观测值的个数，系统自动在后台记录的tsset time   // 将time这个序列定义为时间序列，后续滞后算子时需要用到

3.画出时间序列图

// 画深成B指的时间序列图line index datevar   graph export "深成B指的时间序列图.png", as(png) replace   // 导出图片到本地文件夹

line y,x;

根据2014年1月至2018年5月共计1064个交易日的收盘价数据，我们做出了B股指数的时序图从图中可以看出，指数序列非平稳，尤其是2015年到2016年之间波动十分剧烈。

4.计算日收益率数据

// 计算日收益率数据gen r=100*(index-L.index)/L.index   //（今天的收盘价-昨天的收盘价）/昨天的收盘价   L是lag的缩写

$L.index$表示上一次的$index$

// 对日收益率r进行描述性统计summarize r

// 做出日收益率的时间序列图line r datevargraph export "深成B指日收益率的时间序列图.png", as(png) replace   // 导出图片到本地文件夹

5.检验序列r是否为单位根序列（$ADF$检验）

就是为了判断一下用$ARMA$模型还是$ARIMA$模型

// 检验收益率序列r是否为单位根,检验方法是ADF检验(原假设：是单位根序列，备择假设：是平稳序列)dfuller r// MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0000  p值为0意味着拒绝原假设，所以我们认为r序列平稳

$ADF$检验的原假设：数据是单位根序列，备择假设：数据是平稳序列 $p$值为$0$表示拒绝原假设，认为$r$序列平稳 上表结果显示$p$值为0，在99%的置信水平下拒绝原假设，故序列平稳。使用$ARMA$模型

注意：平稳数据建模用ARMA模型（或者ARIMA(p,0,q)），单位根数据建模用ARIMA模型。

6.判断$AMRA$模型的阶数($ACF$图与$PACF$图)

// 观察acf图与pacf图 ，判断AMRA模型的阶数ac r,lags(20)   // 自相关系数图，滞后20期graph export "自相关系数图.png", as(png) replace   // 导出图片到本地文件夹pac r,lags(20)  // 偏自相关系数图，滞后20期graph export "偏自相关系数图.png", as(png) replace   // 导出图片到本地文件夹

由ACF图和PACF图，3阶和8阶相关系数较为显著，8阶之后的显著可能由于误差导致，不予考虑。 (1阶虽然显著，但其包含的信息太少，我们对高频数据进行建模时往往不考虑) 因此，为保证模型选取的准确性，我们拟合了四个模型并从中选取最 优的模型。 其中 $Model1：ARMA（3,3)$；$Model2：ARMA（8,8)$； $Model3：ARMA（3,8）$；$Model4：ARMA（8,3）$。

7.利用$AIC$和$BIC$选择模型

太多的滞后项会增加预测的误差，太少的滞后项又会遗失部分相关信息。经验和理论知识通常是用来决定滞后项阶数的最好方式，然而，依然存在着一些准则帮助我们确定滞后的阶数。为了确定哪个模型拟合效果最好，我们分别估计出了这四种模型，并给出了对应的$AIC$和$BIC$值，我们认为AIC与BIC值较小，模型拟合效果较好。

我们根据AIC和BIC准则可知，这四个模型中应选取Model1，即ARMA（3,3）模型。此时，AIC值和BIC值的平均值最小。

8.ARMA（3,3）模型的估计结果

建立

9.残差序列的分布直方图

// ARIMA(3,0,3)模型的AIC值和BIC值的平均值最小，所以下面我们使用这个模型进行估计 arima r,arima(3,0,3)// 得到残差的预测值并生成残差分布直方图图predict residess, residuals   // 保存残差hist residess,norm freq  // norm freq表示加上标准正态分布的概率密度函数graph export "残差分布直方图.png", as(png) replace   // 导出图片到本地文件夹

10.检验残差是否为白噪声

接着，我们使用Ljung‐Box Q检验，来检验ARMA模型的有效性，检验结果为下表所示：

// 检验残差是否为白噪声序列，检验方法为Q检验：原假设是白噪声，备择假设不是白噪声wntestq residess, lag(12)   // 对残差序列进行白噪声检验// 生成残差的平方，并进行Q检验gen ressq = residess^2   // 生成残差平方序列ressqwntestq ressq, lag(12) // 对残差平方序列ressq进行白噪声检验

滞后12项的检验值的P值大于0.05，在5%的显著性水平下并不能拒绝原假设。故可以认为通过白噪声检验，即我们认为回归得到的残差不存在较明显的相关性，因此模型有效性较好。

11.对残差的平方进行LM检验（检验是否存在$GARCH$误差）

// LM检验：是否存在ARCH误差reg ressq l.ressq l2.ressq l3.ressq l4.ressq l5.ressq  // 将残差平方项对其滞后项回归gen LM_STAT=e(N)*e(r2) // 计算LM统计量display LM_STAT  // 输出LM统计量display chiprob(e(df_m),LM_STAT) // 计算p值

12.利用AIC、BIC选择合适的模型

// 利用AIC BIC选择合适的模型进行估计 // 注意：扰动项的分布在金融数据中常服从t分布// 正态分布下GARCH(1,1)估计arch r,arima(3 0 3) arch(1) garch(1)estat ic// t分布下GARCH(1,1)估计arch r,arima(3 0 3) arch(1) garch(1) distribution(t 3)  // 自由度为3的t分布estat ic// 正态分布下GARCH(2,2)估计arch r,arima(3 0 3) arch(2) garch(2)estat ic// t分布下GARCH(2,2)估计arch r,arima(3 0 3) arch(2) garch(2) distribution(t 3)estat ic

相加平均找个最小 通过比较AIC和BIC，最终我们选择使用带有GARCH(1,1)且vt服从t分布的扰动项的ARMA(3,3)模型进行估计的

13.预测结果

// 得到拟合结果，并进行预测arch r,arima(3 0 3) arch(1) garch(1) distribution(t 3)tsappend ,add(10)  // 将时间延长10期predict result // 对数据进行预测tsline result r, legend(label(1 "预测值")  label(2 "真实值"))   // 绘制拟合图graph export "预测结果图.png", as(png) replace   // 导出图片到本地文件夹

打开 只有四个预测准确，后面的一样由于MA模型的影响

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